Analyse 2 Sommes de Riemann

Sommes de Riemann

Démonstration. 

On va se limiter au cas où f est continue sur [a, b]. Si f est continue sur [a, b], alors elle y est uniformément continue.
Soit ε > 0. Alors ∃ηε > 0 tel que |x − y| ≤ ηε ⇒ |f(x) − f(y)| ≤ ε b − a .
Soit (d) = (x0 = a, · · · , xn = b) une subdivision de [a, b] de pas δ(d) ≤ ηε et soit (λk)k=1,··· ,n
 suite de points de [a, b] vérifiant λk ∈ [xk−1, xk] pour k = 1, · · · , n. Pour tout x ∈ [xk−1, xk], on a |x − λk| ≤ xk − xk−1 ≤ δ(d) ≤ ηε, donc

  Remarque

Si F et G sont deux primitives de f sur I, alors G = F + λ, où λ est une constante.

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