Exercice un fil rectiligne

Exercice  un fil rectiligne

On considère un fil rectiligne, supposé de longueur infinie, d’axe Oz , chargé uniformément avec une densité linéique de charges positive λ .

L'espace est rapporté au repère cylindrique
 .Un point M de l'espace est repéré par ses coordonnées cylindriques r, φ et z.(figure 1 )
 On veut déterminer le champ électrostatique par application du théorème de Gauss.
 1) A l'aide de considérations de symétrie, déterminer la direction du champ électrostatique créé au point M par la distribution de charges.
 2) De quelle coordonnée cylindrique dépend le module de  ? Justifier la réponse.
3) Appliquer le théorème de Gauss et déterminer l’expression du champ électrostatique
4) Déterminer, à une constante près, le potentiel électrostatique V(M) créé au point M

Solution

On choisit le système de coordonnées cylindriques : un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées (r, φ, z) avec r = HM où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe Oz (axe confondu avec le fil supposé de longueur infinie)
On utilise la base cylindrique
1) Etude de symétries :
 Tout plan contenant le fil chargé est un plan de symétrie et tout plan perpendiculaire
Le plan ; (plan indiqué en rouge figure 1); est un plan de symétrie pour la distribution de charges, le champ créé au point M par la distribution de charges.
appartient à ce plan.
Donc le champ appartient l’intersection de ces deux plans c'est-à-dire à la droite
perpendiculaire à l’axe du fil et passant par M. Le champ est donc radial
Les lignes de champ sont orthogonales à l’axe du fil et parallèles à
2) Etude des invariances
 Le système est invariant par rotation autour de l’axe Oz du fil et par translation le long de l’axe Oz du fil (supposé infini), le module du champ ne dépend ni de z ni de φ.
ne dépend que de la distance du point M au fil c'est-à-dire de la coordonnée r
où ; r= HM et H le projeté orthogonal de M sur l’axe du fil
3) Choix de la surface de Gauss :
Considérons, donc, comme surface de Gauss un cylindre fermé d’axe confondu avec l’axe Oz du fil , de rayon r et de hauteur h, passant par M voir figure .