Champ électrique d'un demi anneau(cercle) ~ Physics and Mathematics Library

Champ électrique d'un demi anneau

On désire calculer le champ électrique produit par un demi anneau comme sur le schéma suivant :

On appelle $\Theta$ l’angle que forment (OP, Oy)
Soit un arc de cercle centré sur P de longueur ds vu sous un angle $d\Theta$
La longueur de cet arc de cercle vaut $dl=Rd\Theta$
Cet arc de cercle contient la charge élémentaire $dq=\lambda dl=\lambda Rd\Theta$ avec densité de charge linéique du demi-anneau.
Cette charge élémentaire $d\Theta$ considérée comme ponctuelle crée en M le champ élémentaire :

$d\vec{E}=\frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}\vec{e_{r}}=\frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _{0}PM^{3}}\vec{PM}$

Les coordonnées du point M : $\vec{OM}=\left \{ x,0,0\} \right.$ du point P: $\vec{OP}=\left \{ 0,R\cos(\Theta ),R\sin(\Theta )\} \right.$ $\vec{PM}=\left \{ x_{M}-x_{P}=x, y_{M}-y_{P}=-R\cos(\Theta ), z_{M}-z_{P}=-R\sin(\Theta )\} \right.$

Les coordonnées du vecteur champ élémentaire :

$d\vec{E}=\left \{ \frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}(PM)_x,{\frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}(PM)_y,{\frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}(PM)_z}} \right \}$

$d\vec{E}=\left \{ \frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}x,{\frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}(-Rcos\Theta ),{\frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}(-Rsin\Theta )}} \right \}$

Le champ électrique créé en M est la somme des champ élémentaires créés par chaque arc de cercle constituant le demi-anneau circulaire : $\vec{E}=\int d\vec{E}$

$\vec{E}=\left \{ \int \frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}x,{\int \frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}(-Rcos\Theta ),{\int \frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}(-Rsin\Theta )}} \right \}$

$\Rightarrow \vec{E}=\left \{ \int_{0}^{\pi } \frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}x,{\int_{0}^{\pi } \frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}(-Rcos\Theta ),{\int_{0}^{\pi } \frac{\lambda Rd\Theta }{4\pi \epsilon _0r^{3}}(-Rsin\Theta )}} \right \}$

$\Rightarrow \vec{E}=\left \{ \frac{\lambda Rx }{4\pi \epsilon _0r^{3}}\int_{0}^{\pi }d\Theta,{ \frac{-\lambda R^{2}}{4\pi \epsilon _0r^{3}}\int_{0}^{\pi }cos\Theta d\Theta ,{ \frac{-\lambda R^{2}}{4\pi \epsilon _0r^{3}}\int_{0}^{\pi } sin\Theta }d\Theta } \right \}$

$\Rightarrow \vec{E}=\left \{ \frac{\lambda Rx }{4\pi \epsilon _0r^{3}}\pi , \frac{-\lambda R^{2}}{4\pi \epsilon _0r^{3}}0 , \frac{-\lambda R^{2}}{4\pi \epsilon _0r^{3}}2 \right \}=\left \{ \frac{\lambda Rx }{4 \epsilon _0r^{3}} , 0 , \frac{-\lambda R^{2}}{2\pi \epsilon _0r^{3}} \right \}$

On peut encore remplacer: $r^{3}=(R^{2}+x^{2})^{\frac{3}{2}}$

Pour trouver l’expression du champ électrique en O, on remplace x par 0. $\vec{E}(en O)=-\frac{\lambda }{2\pi \epsilon _{0}R}\vec{e_{z}}$

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