résumé champ électrostatique L’essentiel

champ électrostatique
L’essentiel

L’interaction électromagnétique

est une des quatre interactions fondamentales, née de la réunion entre l’électricité
et le magnétisme. C’est elle qui assure entre autre la cohésion des atomes (forces entre
 le noyau et les électrons).

Force d’interaction coulombienne entre deux charges :

Il y a attraction si $q_1$ et $q_2$ sont de signe contraire, il y a répulsion si $q_1$ et $q_2$ sont de même signe.

Champ créé par une charge $q_1$ en un point situé à une distance PM

Le champ $\overrightarrow{E}$ est dirigé vers la charge $q_1$ si celle-ci est négative.

Champ créé par une distribution discrète de charges

Champ créé par une distribution linéique de charges

$$\boxed{{\displaystyle \overrightarrow{E}={\int }_{P\in L}\frac{dq}{4\pi {ϵ}_{0}P{M}^2}\overrightarrow{u}={\int }_{P\in L}\frac{\lambda dl}{4\pi {ϵ}_{0}P{M}^2}\overrightarrow{u}}}\text{avec}\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{PM}}{PM}$$

Champ créé par une distribution surfacique de charges

$$\boxed{{\displaystyle \overrightarrow{E}={\iint }_{P\in S}\frac{dq}{4\pi {ϵ}_{0}P{M}^2}\overrightarrow{u}={\iint }_{P\in S}\frac{\sigma dS}{4\pi {ϵ}_{0}P{M}^2}\overrightarrow{u}}}\text{avec}\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{PM}}{PM}$$

Champ créé par une distribution volumique de charges

$$\boxed{{\displaystyle \overrightarrow{E}={\iiint }_{P\in V}\frac{dq}{4\pi {ϵ}_{0}P{M}^2}\overrightarrow{u}={\iiint }_{P\in V}\frac{\rho d\tau }{4\pi {ϵ}_{0}P{M}^2}\overrightarrow{u}}}\text{avec}\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{PM}}{PM}$$

Pour "visualiser" un champ électrique,

on utilise les lignes de champ : ce sont des lignes orientées dans la même direction que le champ électrique ; en chaque point de celle-ci le champ$\overrightarrow{E}$ est tangent.

Les symétries et invariances

des distributions continues de charge permettent de simplifier l’expression possible pour
 le champ électrique créé par celles-ci.

• Les invariances (translation, rotation) permettent de s’affranchir de coordonnées 
• dont dépend le champ.
• Les symétries ou antisymétriques permettent de s’affranchir de composantes du champ.
• Si la distribution présente un plan de symétrie, 

  Si la distribution présente un plan antisymétrique, le champ  est nécessairement orthogonal à ce plan.
• le champ $\stackrel{}{}$

Calcul de champ par méthode intégrale

Après avoir déterminer les invariances et symétries de la distribution de charges, et donc après avoir simplifier l’expression du champ électrique, la méthode la plus directe consiste à calculer le champ par intégration.
Cependant, cette méthode est souvent fastidieuse.

Théorème de Gauss

Ce théorème permet généralement un calcul plus aisé du champ électrique créé par
une distribution lorsque celle-ci comporte de nombreuses symétries et invariances.
Après avoir déterminer celles-ci et donc simplifier l’expression du champ, on calcule
 le flux du champ $\overrightarrow{E}$ à travers une surface fermée (qui délimite un volume) judicieusement
choisie.

On a alors :

où $\overrightarrow{n_{ext}}$ est le vecteur unitaire qui oriente la surface S et $Q_{int}$ la charge contenue dans le volume délimité par la surface de Gauss.

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