corrigé exercice Analyse 2

1.Montrer que : $U_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})$

${\color{Emerald} U_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^{2}}\frac{n+k}{3-\frac{2k}{n}+(\frac{k}{n})^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1+x_{k}}{3-2x_{k}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})}$

1-déduire que $\lim_{n\rightarrow +\infty }U_{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx.$

Si (fk) est une suite de fonctions intégrables sur [a, b], convergeant simplement vers une fonction f et si toutes les |fk| sont majorées par une même constante, alors la suite des intégrales fk converge. Si de plus f est intégrable, alors son intégrale est la limite de celles des fk.

2-a.Vérifier que

$\frac{x+1{\color{Cyan} +1}{\color{Red} -1}}{x^{2}-2x+3}=\frac{x-1{\color{Cyan} +2}}{x^{2}-2x+3}=\frac{x-1}{x^{2}-2x+3}+\frac{{\color{Cyan}2}}{x^{2}-2x+3}=\frac{x-1}{x^{2}-2x+3}+\frac{{\color{Cyan}2}}{x^{2}-2x+3}=\frac{1}{{\color{Red} 2}}\frac{{\color{Red} 2}x-{\color{Red} 2}}{x^{2}-2x+3}+\frac{2}{x^{2}-2x+3}$

2-b.En déduire que

$\int_{0}^{1}\frac{x+1}{x^{2}-2x+3}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{2x-2}{x^{2}-2x+3}+2\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}-2x+3}dx=\frac{1}{2}[ln\left | {\color{Red} x^{2}-2x+3}\right |]_{0}^{1}+2\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}-2x+3}dx=ln(\sqrt{\frac{2}{3}})+2\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}-2x+3}dx$

3.a

$2[(\frac{x-1}{\sqrt{2}})^{2}+1]={\color{Red} 2[\frac{1}{2}(x-1)^{2}+1]=(x-1)^{2}+2=x^{2}-2x+1+2}{\color{Green} =x^{2}-2x+3}$

3.b

b ${\color{Red} on\: \: pose\: \: \: y=\frac{x-1}{\sqrt{2}}\: \: \: x=0\: \: y=\frac{-1}{\sqrt{2}}\: \: et\: \: x=1\: \: \: y=0\: \: \: et\: \: \: dx=\sqrt{2}dy}\Rightarrow \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}-2x+3}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{2[(\frac{x-1}{\sqrt{2}})^{2}+2]}={\color{Green} \frac{\sqrt{2}}{2}\int _{\frac{-1}{\sqrt{2}}}^{0}\frac{dy}{y^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[\arctan (y)]_{\frac{-}{\sqrt{2}}}^{0}=\frac{\sqrt{2}\pi }{8}$

4.déduire

$\lim_{n\rightarrow +\infty }U_{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx=\ln (\sqrt{\frac{2}{3}})+\frac{\pi\sqrt{2}}{8}$

II- $I_{1}$

$\int_{0}^{+\infty }\frac{e^{-\sqrt{x^{2}x+1}}dx}{\sqrt{x}}=\int_{0}^{1}\frac{e^{-\sqrt{x^{2}x+1}}dx}{\sqrt{x}}+\int_{1}^{+\infty }\frac{e^{-\sqrt{x^{2}x+1}}dx}{\sqrt{x}}\Rightarrow \int_{0}^{1}\frac{e^{-\sqrt{x^{2}x+1}}dx}{\sqrt{x}}\approx \int_{0}^{1}\frac{1-\frac{x^{2}+x}{2}}{\sqrt{x}}dx\: \: \: \: {\color{Red} Div} \: \: \: \: donc\: \: \: integrale \: \: {\color{Blue}Div }$

II- $I_{2}$

Les développements limités au voisinage de $+\infty$ des fonctions usuelles son
$\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}\simeq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{x^{2}})\Rightarrow \frac{1}{x^{2}\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}}\approx\int_{1}^{+\infty } \frac{1}{2x^{2}}(1+\frac{1}{x^{2}})\approx 0-1$
donc convergente

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Exercice 1
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Mohamed AIT AOMAR

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