Équations différentielle

Équations différentielle

Introduction

Les équations différentielles sont le principal instrument utilisé par les scientifiques pour 

formuler des modèles mathématiques de situations réelles.

Elles jouent donc un rôle tout à fait central dans l'utilisation des mathématiques pour 

décrire le monde qui nous entoure.

Définition 1:

On appelle équation différentielle une équation où interviennent une fonction inconnue de la variable réelle  et une ou plusieurs de ses dérivées ,  , etc... ainsi qu'éventuellement la variable  elle-même : par exemple,

Exemple 1

  

sont des équations différentielles. 

Toutes ces équations peuvent s'écrire   ou F est 
une fonction réelle de plusieurs variables.

Définition 2 : 

Solutions d'une équation différentielle On dit qu'une fonction  est solution de l'équation différentielle  si son 

domaine de définition est un certain intervalle I de R si elle est suffisamment 

dérivable sur I, et si elle vérifie, pour tout x de 

 Par exemple, la fonction 
est solution de l'équation   parce que  pour tout x.
Nous verrons qu'une équation différentielle possède en général une infinité de solutions.

Définition 3 :

 Ordre d'une équation différentielle

On dit qu'une équation différentielle est du premier ordre si elle ne fait intervenir que x,y et sa dérivée première   

Exemple 2

Les équations

sont du premier ordre.

Une équation du second ordre peut faire intervenir  . 
L'équation  est du second ordre.

Nous nous limiterons aux équations de premier et du second ordre, et pour celles du second ordre aux cas les plus simples.

On dit qu'une équation différentielle (du premier ordre) est résolue en  si elle s'écrit  ; nous étudierons essentiellement ce type d'équations.

Quelques situations modélisables par des équations différentielles

Introduction

Lorsque l'on connaît les lois régissant la variation d'un phénomène à chaque instant et que

 l'on s'intéresse à son évolution à long terme, on peut souvent modéliser le comportement

 de ce phénomène à l'aide d'une équation différentielle : la variable réelle représente alors

 le temps.

Les solutions de cette équation peuvent alors être interprétées pour décrire l'état 

du phénomène à un instant donné.

Les quelques exemples ci-dessous permettront de mieux comprendre ce cheminement.

Un cas très simple

Une équation différentielle particulièrement simple est l'équation  ,

 où  est une constante réelle.

Elle modélise des situations très diverses, où la vitesse de variation d'une quantité 

est proportionnelle à cette quantité même :

La taille d'une population ayant un taux d'accroissement constant.

L'évolution d'un avoir placé à intérêts composés à taux fixe.

L'évolution de la masse d'une substance radio-active (dans ce cas, la constante  

est négative; elle dépend de la substance et de l'unité de temps choisie).

etc...

Nous verrons que les solutions de l'équation  sont  , où  est 

une constante arbitraire. Dans le troisième cas par exemple, on interprète cela en disant 

que si on a, à l'instant  , une masse  de substance radio-active, au bout de 3 

unités de temps il en restera  .

Des modélisations un peu plus raffinées

Le modèle d'évolution de population donné par  , soit  , suppose 

que pendant un laps de temps donné cette population subit un accroissement 

proportionnel à sa taille ; c'est bien entendu un modèle très fruste. Une vision un peu

 plus réaliste consiste à prendre en compte des contraintes spécifiques.

Par exemple, si on s'intéresse à une population de bactéries vivant dans un espace clos,

 on rajoute un taux de mortalité dû à l'étouffement ou à la compétition, qu'il est 

raisonnable de supposer à chaque instant proportionnel à la population : 

on remplace alors l'équation  par  , soit .

 Cette équation porte le nom d'équation logistique ; elle est beaucoup utilisée en économie.

Considérons maintenant une population de punaises d'eau rassemblées en une colonie 

ayant la forme d'un disque. On peut supposer que celles de la périphérie souffrent du 

froid, et ont un taux de mortalité supplémentaire. Si y représente la taille de la

 population, l'effectif de celles de la périphérie est proportionnel à  ; 

l'équation différentielle rendant compte de cette situation est donc de la 

forme  .

Quelques équations issues de la physique

Les lois élémentaires de la physique fournissent des quantités de très beaux 

exemples d'équations différentielles, la plupart du temps du second ordre.

 Citons les plus classiques :

Décharge d'un condensateur : Si un circuit constitué d'une résistance  .

 d'un condensateur de capacité  et d'une bobine d'inductance  est monté en série 

aux bornes

 d'un générateur fournissant une tension variable  , la charge  du condensateur 

vérifie l'équation

 (ici, les dérivées  et  sont relatives à la variable ( ) .

Si une masse  est suspendue à un ressort ayant un coefficient de rappel  et

 un amortissement constant  , sa position  vérifie l'équation

Un pendule, constitué d'une petite bille, se meut dans un plan vertical au bout d'une fine 

tige rigide de longueur  dont l'autre extrémité est fixe. Notons  l'angle de la

 tige repéré depuis la position d'équilibre.  vérifie l'équation

 (  désigne l'accélération de la pesanteur).

prof : Med AIT AOMAR

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