Exercice Application du théorème de Gauss

Application du théorème de Gauss

Exercice 1. Sphère uniformément chargée : symétrie sphérique

On considère une sphère de rayon R qui contient une charge totale Q uniformément répartie en volume
1- En utilisant la symétrie et l’invariance, préciser :
Le système de coordonnées le mieux approprié.
Les coordonnées dont dépendent le champ et le potentiel V
La direction du champ.
2- Calculer le vecteur champ électrostatique crée par la sphère en tout point de l’espace.
3- En déduire le potentiel V en tout point de l’espace.
4- Tracer, sur un graphe, l’évolution du module du champ et du potentiel V en fonction de r

Exercice 2. Fil uniformément chargé: symétrie cylindrique

Soit un fil infini uniformément chargé avec une densité de charge linéique λ > 0.

Figure 1

1- En utilisant la symétrie et l’invariance, préciser :
Le système de coordonnées le mieux approprié.
Les coordonnées dont dépendent le champ
La direction du champ .
2- Calculer le champ électrostatique crée en tout point de l’espace par ce système.
3- En déduire le potentiel V en tout point de l’espace

Exercice 3. Sphère chargé

Considérons une sphère de rayon R chargée en volume,
définie par une densité volumique de charge ρ telle que où a est une constante positive.
1- En utilisant la symétrie et l’invariance, préciser :
Le système de coordonnées le mieux approprié.
Les coordonnées éventuellement nulles dont dépendent le champ .
Les composantes éventuellement nulles du champ
2- Calculer le vecteur champ électrostatique crée par la sphère en tout point de l’espace.
3- En déduire le potentiel V en tout point de l’espace.
4- Tracer, sur un graphe, l’évolution du module du champ et du potentiel V en fonction de r. Commenter les deux courbes
5- Vérifier que le potentiel V satisfait bien l’équation de Poisson en tout point de l’espace . On donne : Si V =V(r) alors

Exercice 4. Champ électrostatique créé par une distribution sphérique de charges

On creuse dans une sphère de centre O et de rayon une cavité sphérique de même centre O et de rayon
.Il n’y a pas de charge dans la cavité. Dans le volume sphérique restant, la densité volumique de charges est =cte>0
On obtient la distribution de charges suivante :
ρ(r)=0 si r<
ρ(r)= si
ρ(r)=0 si r>

Figure 2

1. Un point M est repéré par la distance r=OM Déterminer les plans de symétrie et les invariances de cette distribution de charges
Montrer ensuite que le champ électrostatique créé par ce système est :
1.1. Radial 1.2. L’intensité est constante sur toute sphère de centre O et de rayon r.
2. Rappeler le théorème de Gauss. Quelles sont les précautions à prendre pour appliquer ce théorème ?
Quelle est la surface de gauss adaptée au problème ?
3. Trouver les expressions du champ , puis du potentiel V(M) en tout point de l’espace (en prenant V(∞) = 0)
4. Tracer l’allure des courbes et V(r) On donne l’expression du gradient en coordonnées sphérique :

Exercice 5. Etude d’une distribution sphérique de charge – Équation de Poisson

On considère une sphère de rayon R chargée d’une densité volumique ρ uniformément répartie.
1. En utilisant le théorème de Gauss, trouver les expressions du champ .puis du potentiel V(M) en tout point de l’espace (en prenant V(∞) = 0).
2. Retrouver l’expression du potentiel V(M) en intégrant l’équation de Poisson.
On donne l’expression du laplacien en coordonnées sphérique :

Exercice 6. Etude d'une distribution cylindrique de charge

On considère un cylindre de rayon R et de longueur infinie, uniformément chargé en volume avec une densité volumique ρ>0.
1. Quelle est la direction du champ électrostatique en tout point M de l'espace ?
2. Montrer que la valeur du champ électrostatique ne dépend que de la distance r entre M et l'axe du cylindre.
3. En utilisant le théorème de Gauss et en précisant la surface utilisée, calculer le champ dans les deux cas suivants:
r < R
r > R
On donnera E en fonction de r
4. Calculer le potentiel électrique à l'intérieur et à l'extérieur du cylindre. On impose la condition
V = 0 pour r=0.
5. La densité volumique de charge ρ du cylindre n'est plus uniforme mais à symétrie cylindrique
(ρ est une fonction de r).
On donne pour r < R et avec une constante.
Déterminer le champ électrostatique dans le cas où r On donne l’expression du gradient en coordonnées cylindrique :

Figure 3

Mohamed AIT AOMAR