Exercice et corrigé intégration analyse 2

Cours intégration ici

Exercice 1 - Reconnaissance de formes

Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :

1. f(x)=(3x−1)(3x2−2x+3)3, I=R3. f(x)=(x−1)x(x−2)√, I=]−∞,0[2. f(x)=1−x2(x3−3x+1)3, I=]−∞,−2[4. f(x)=1xln(x2), I=]1,+∞[.

Corrigé 

1.  Posons u(x)=3x2−2x+3$u(x)=3x^2-2x+3$, de sorte que u′(x)=6x−2=2(3x−1)$u^{\prime }(x)=6x-2=2(3x-1)$. On a donc
   f(x)=12×u′(x)u(x)3.$$f(x)=\frac{1}{2}\times u^{\prime }(x)u(x{)}^3.$$
   Une primitive de f$f$ est donc la fonction
   F(x)=18(3x2−2x+3)4.$$F(x)=\frac{1}{8}(3x^2-2x+3{)}^4.$$
2.  Posons u(x)=x3−3x+1$u(x)=x^3-3x+1$ de sorte que u′(x)=3x2−3=−3(1−x2)$u^{\prime }(x)=3x^2-3=-3(1-x^2)$. On en déduit que
   f(x)=−13×u′(x)u(x)3.$$f(x)=\frac{-1}{3}\times \frac{u^{\prime }(x)}{u(x{)}^3}.$$
   Une primitive de f$f$ est donc la fonction
   F(x)=16×1(x3−3x+1)2.$$F(x)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{(x^3-3x+1{)}^2}.$$
3.  Posons u(x)=x(x−2)=x2−2x$u(x)=x(x-2)=x^2-2x$. On a u′(x)=2x−2=2(x−1)$u^{\prime }(x)=2x-2=2(x-1)$. On en déduit que
   f(x)=12×u′(x)u(x)−−−−√.$$f(x)=\frac{1}{2}\times \frac{u^{\prime }(x)}{\sqrt{u(x)}}.$$
   Une primitive de f$f$ est donc la fonction
   F(x)=x2−2x−−−−−−√.$$F(x)=\sqrt{x^2-2x}.$$
4.  Il faut commencer par écrire que ln(x2)=2lnx$\ln (x^2)=2\ln x$. On a alors
   f(x)=12×u′(x)u(x),$$f(x)=\frac{1}{2}\times \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)},$$
   avec u(x)=lnx$u(x)=\ln x$. On en déduit qu'une primitive de f$f$ est donnée par
   F(x)=12ln(lnx).

Exercice 2  Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples 

Soit f(x)=5x2+21x+22(x−1)(x+3)2$f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3{)}^2}$, x∈]1,+∞[$x\in ]1,+\mathrm{\infty }[$.

1.  Démontrer qu'il existe trois réels a, 
   $b$ et 
   $c$ tels que
   ∀x∈]1,+∞[, f(x)=ax−1+bx+3+c(x+3)2.$$\mathrm{\forall }x\in ]1,+\mathrm{\infty }[,f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+3}+\frac{c}{(x+3{)}^2}.$$
2.  En déduire la primitive de f$f$ sur ]1,+∞[$]1,+\mathrm{\infty }[$ qui s'annule en 2.

Corrigé 

1.  On peut tout mettre au même dénominateur, et procéder par identification. En effet, on a
   ax−1+bx+3+c(x+3)2==a(x+3)2+b(x−1)(x+3)+c(x−1)(x−1)(x+3)2x2(a+b)+x(6a+2b+c)+(9a−3b−c)(x−1)(x+3)2.$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+3}+\frac{c}{(x+3{)}^2}& =& \frac{a(x+3{)}^2+b(x-1)(x+3)+c(x-1)}{(x-1)(x+3{)}^2}\\ & =& \frac{x^2(a+b)+x(6a+2b+c)+(9a-3b-c)}{(x-1)(x+3{)}^2}.\end{array}$$
   L'égalité demandée sera vérifiée dès que
   ⎧⎩⎨⎪⎪a+b6a+2b+c9a−3b−c===52122$$\{\begin{array}{rcl}a+b& =& 5\\ 6a+2b+c& =& 21\\ 9a-3b-c& =& 22\end{array}$$
   On résoud ce système en commençant par remarquer que a=5−b$a=5-b$. Il est donc successivement équivalent à
   ⎧⎩⎨⎪⎪a−4b+c−12b−c===5−b−9−23$$\{\begin{array}{rcl}a& =& 5-b\\ -4b+c& =& -9\\ -12b-c& =& -23\end{array}$$
   ⟺⎧⎩⎨⎪⎪ac−16b===5−b−9+4b−32$$⟺\{\begin{array}{rcl}a& =& 5-b\\ c& =& -9+4b\\ -16b& =& -32\end{array}$$
   On trouve finalement comme unique solution a=3$a=3$, b=2$b=2$ et c=−1$c=-1$, de sorte que
   f(x)=3x−1+2x+3−1(x+3)2.$$f(x)=\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+3}-\frac{1}{(x+3{)}^2}.$$
2.  On intègre chacun des éléments simples de la décomposition précédente, en tenant compte du fait que l'on travaille sur l'intervalle ]1,+∞[$]1,+\mathrm{\infty }[$. Les primitives de f$f$ sur cet intervalle sont donc les fonctions
   F(x)=3ln(x−1)+2ln(x+3)+1x+3+d.$$F(x)=3\ln (x-1)+2\ln (x+3)+\frac{1}{x+3}+d.$$
   La primitive qui s'annule en 2$2$ et celle pour laquelle d$d$ vérifie l'équation
   3ln(1)+2ln5+15+d=0.$$3\ln (1)+2\ln 5+\frac{1}{5}+d=0.$$
   La primitive de f$f$ sur l'intervalle ]1,+∞[$]1,+\mathrm{\infty }[$ qui s'annule en 2 est donc la fonction F$F$ définie par
   F(x)=3ln(x−1)+2ln(x+3)+1x+3−2ln5−15.