Exercice intégrale de Riemann ~ Physics and Mathematics Library

Exercice intégrale de Riemann

jeudi, mai 28, 2020 Analyse2, Maths

Flowers in Chania

Exercice I

On propose de calculer la limite de la suite suivante

$\large {\color{Red}U_{n}=\frac{\pi ^{2}}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}\frac{k\sin (\frac{k\pi }{n})}{1+\cos ^{2}\frac{k\pi }{n}}}$

1.Montrer que .

$\large \lim_{n\rightarrow +\infty }U_{n}=1=\int _{0}^{\pi }\frac{x\sin x}{1+\cos ^{2}x}dx$

2.a) Montrer que

$\large \int _{0}^{\pi }\frac{x\sin x}{1+\cos ^{2}x}dx=\int _{0}^{\pi }\frac{(\pi -u)\sin u}{1+\cos ^{2}u}du$
poser $\large (x=\pi-u)$

b)En déduire que : $\large I=\frac{\pi }{2}\int _{0}^{\pi }\frac{\sin u}{1+\cos ^{2}u}du$

c) En faisant un changement de variable convenable;montrer que:

$\large \int _{0}^{\pi }\frac{\sin u}{1+\cos ^{2}u}du=\int _{-1}^{1 }\frac{dt}{1+t^{2}}$

3.En déduire la valeur de $\large \lim_{n\rightarrow +\infty }U_{n}$ .

Exercice II:

On pose

$\large J_{n}=\int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{(1+x^{4})^{n+1}}\: \: ;J_{0}=\int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{1+x^{4}}\: \: ;n\geqslant 0\: \: ;I=\int_{0}^{+\infty }\frac{xdx}{1+x^{4}}$

1.pour $\large f(x)=\frac{1}{2}\arctan x^{2}$ ;calculer f'(x) et en déduire la valeur de I.

2 Vérifiez que $\large {\color{DarkGreen}1+x^{4}=(x^{2}-x\sqrt{2}+1)(x^{2}+x\sqrt{2}+1) }$ .

3.Montrer que $\large J_{0}=\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}dx}{1+x^{4}}.$

4.Montrer que $\large J_{n}-\sqrt{2}I+J_{0}=\int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{1+x^{2}+x\sqrt{2}}.$

5.Vérifiez que

$\large 1-x^{2}+x\sqrt{2}=\frac{1}{2}\left [ (\sqrt{2}x-1)^{2} +1\right ]$

6. En faisant un changement de variable convenable, calculer la valeur de $\large \int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{1+x^{2}+x\sqrt{2}};$ et en déduire la valeur de $\large J_{0}$ .

7.En faisant une intégration par parties montrer que : $\large J_{n+1}=\frac{4n+3}{4(n+1)}J_{0}$

(indication: calculer $\large J_{n}-J_{n+1}$ )

8 En déduire les valeurs de $\large J_{1}\: \: et\: \: J_{2}$ .

Person

Mohamed AIT AOMAR