Intégration(Analyse 2)

I-Introduction

L'objet de cette partie est d'expliciter les deux principales méthodes utilisées pour 
calculer des intégrales définies ou indéfinies.

Rappel : Rappel des notations :

On considère une fonction  continue sur un intervalle  de 

Étant donné deux points  et  de  , le symbole 

•  intégrale définie de  sur l'intervalle  représente un nombre, la variable  qui intervient est une variable muette, on peut la noter  peu importe.

• En revanche nous désignons par
• 
  intégrale indéfinie, une primitive quelconque de  sur  , c'est une fonction de la variable  , définie à une constante près et si  est une primitive déterminée de  , on a
   .
• La primitive de  qui s'annule en  est la fonction :  .
• Nous verrons, dans la suite que le calcul des intégrales indéfinies doit être abordé avec beaucoup de précautions. Il est souvent préférable de calculer une primitive particulière  et d'ajouter une constante ; c'est le cas en particulier quand on effectue deux intégrations successives, ainsi pour trouver toutes les fonctions qui vérifient  on écrit :
   et non  puis
   et surtout pas 

• II-Théorème et formule d'intégration par parties

• Théorème 1

• Soit  et  des fonctions de classe  sur un intervalle  , alors intégrale définie :
• pour  et  dans  on a :
•  .
• intégrale indéfinie :
• 
• 
  
• Preuve
• 
  
• Application de la formule de dérivation du produit de fonctions 
• 
  
• Attention
• La formule d'intégration par parties dans le cas d'une intégrale indéfinie signifie que si  est une primitive de  alors  est une primitive de  . On doit être prudent quand on utilise cette méthode : ainsi pour calculer  si on pose  on obtient :  Alors  ?
• Ne cherchez pas l'erreur, il n'y en a pas ! La dernière égalité (égalité de primitives) est vraie à une constante près !

• III-Changement de variable - Cas Général

• Théorème 2:

• Soit  une fonction de classe  sur un intervalle  , on pose  ; alors si  est une fonction continue sur un intervalle  contenant l'image  on a : .
• Remarque : préliminaire :
• La fonction  étant continue, l'image de  par  est un intervalle où  et 
• Attention
• en général  . Ainsi avec  on a :
•  .
• Preuve
• On considère les fonctions  et  définies par
• 
• On a :
• 
• On définit alors  sur  par :
•  et  . On a donc :
• 
• D'où  est constante ; or  .
• Définition
• 
  
• L'application  qui transforme l'intégrale de  sur  en l'intégrale d'une autre fonction sur un autre intervalle définit un changement de variable.
• 
  
• Remarque
• Pour obtenir l'égalité :  , on voit que dans le premier membre il suffit de poser  , alors  , appelé élément différentiel, devient  ,remplacer les bornes  par  et  .

• Applications

• Quand utiliser un changement de variable ?
  Le cas le plus simple est celui où on "reconnaît" dans l'élément différentiel de 
• l'intégrale proposée le groupement 
• Exemple
  La formule de changement de variable s'écrit dans ce cas :

  

  Du point de vue pratique on pose  et

  
• Calcul de l'intégrale  . L'élément différentiel s'écrit  .
• 
  

  Du point de vue pratique on pose  et

  

• 
  

• IV-Le cas bijectif

• Cas où le changement de variable est bijectif
  La formule, utilisée dans l'autre sens,
  
  présente de l'intérêt dans le cas où la recherche des primitives de  que celle des primitives de  .
  On "devine" le changement de variable.
  Mais la difficulté provient du fait qu'on a :
  Donc, quand on écrit :
  il faut trouver  et  tels que  . La fonction  doit donc 
• être bijective de  sur  , alors  . Comme  
• est de classe  il suffit qu'elle soit monotone sur  .
• On a alors :
• Exemple
  On a dit qu'on devinait le changement de variable ; une bonne connaissance des formules trigonométriques aide parfois dans cette opération.

  Ainsi, pour le calcul de l'intégrale : 

  On remarque que, si l'on pose  , on a alors :

  

  La fonction  est monotone et établit une bijection de  sur  , la fonction réciproque étant  , on a donc :

  

  Pratiquement : on pose  d'où  ,

   . D'où le résultat
• Télécharge ici