Mémento Factorisations

Mémento Factorisations

1) Factorisations de niveau 4e . 

Rappel de vocabulaire :
On parle d'un produit de facteurs : a x b x c est le produit des 3 facteurs a, b et c. On parle d'une somme de termes : a + b + c est la somme des 3 termes a, b et c. Ces factorisations sont toutes basées sur la propriété de Distributivité de la Multiplication sur l'Addition (ou la Soustraction) :
 ab + ac – ad = a(b + c – d) Elles consistent à écrire une somme et à la multiplier par le facteur commun.
 Factoriser c'est toujours remplacer une somme de termes par un produit de facteurs.
Cela s'explique très bien avec une situation concrète :
Supposons qu'en début d'année, un professeur (distrait!) doive ramasser une certaine somme auprès de 25 élèves :
 → il commence par ramasser 4 € ; il a donc récupéré 4 x 25 (€)
→ puis, s'apercevant de sa distraction, présente ses excuses et redemande 3 € ,
 il a cette fois récupéré 3 x 25 (€) Il a donc récupéré en tout : 4 x 25 + 3 x 25 et s'il l'avait fait en une seule fois : (4+3) x 25
Factoriser, en 4e , commence par l'identification du facteur commun : ab + ac – ad est une somme de 3 termes, chaque terme étant lui le résultat d'un produit de 2 facteurs, il est facile de voir que sur les produits de facteurs ab, ac et ad, il y a la présence d'un facteur commun aux 3 produits, le facteur a. Toutes les factorisations 4e se ramènent à deux types, deux structures ou "squelettes" qu'il suffit d'identifier : ab + ac = a(b + c) et son dérivé, obtenu en remplaçant b par a :
a 2 + ac = a x a + a x c = a(a + c)

 Quelques exemples du 1er type 

• 3x + 6y. Il faut voir 3x = 3 x x et 6y = 3 x 2y. Le facteur commun est 3 : 3x + 6y = 3(x + 2y)
• 3xy + 6xz. Il faut voir 3xy = 3x x y et 6xy = 3x x 2y. Le facteur commun est 3x : 3xy + 6xz = 3x(y + 2z)
 • x(2x+3) + x(x-5). Les deux groupes de facteurs sont : x(2x+3) et x(x-5). Le facteur commun est donc x : x(2x+3) + x(x-5) = x[(2x+3) + (x-5)] = x(2x+3+x-5) = x(3x – 2). S'il y avait eu un – à la place du + entre les deux termes, à la suppression des parenthèses il aurait fallu changer les signes.
• (x -1) (2x+3) + (x -1) (x-5). Les deux groupes de facteurs sont : (x -1) (2x+3) et (x -1) (x-5). (x -1) est commun donc : (x-1) [(2x+3) + (x-5)] = (x-1) (2x+3 + x-5) = (x-1)(3x-2). Pas de changements majeurs par rapport à la l'exercice précédent....
 • 2(x-1)(2x+3)–3(x-1)(x-5). Il y 2 groupes de 3 facteurs 2(x-1)(2x+3) et 3(x-1)(x-5). Le facteur commun est encore (x-1). On a : (x-1) x 2(2x+3) et (x-1) x 2(2x+3).
 Donc : 2(x-1)(2x+3)–3(x-1)(x-5)= (x-1)[2(2x+3)–3(x-5)] = (x-1) (4x+ 6–3x+15) = (x-1)(x+21).

Quelques exemples du 2e type 

• x 2 + 6x = x(x + 6). Il fallait voir x 2 = x x x et 6x = x x 6. Le facteur commun était x.
• 3x 2 + 6x = 3x(x+2). Il fallait voir 3x 2 = 3x x x et 6x = 3x x 2. Le facteur commun était 3x.
• 3x 2 y + 6xy2 = 3xy(x + 2y). Il fallait voir 3x 2 y = 3xy x x et 6xy2 = 3xy x 2y. Le facteur commun était 3xy.
 • (3x-1)2 + (3x-1)(x-4) = (3x-1)(3x-1) + (3x-1)(x-4) = (3x-1)[(3x-1)+(x-4)] = (3x-1) (3x-1+x-4) = (3x-1) (4x-5). Le facteur commun était (3x-1).
Ce qui suit est limite hors-programme
• 2(3x-1)2 + 3(3x-1)(x-4) = (3x-1) x2(3x-1) + (3x-1) x3(x-4) = (3x-1)[2(3x-1) + 3(x-4)]
 = (3x-1)(6x-2 + 3x-12) = (3x-1)(9x-14).
 • 2(3x-1)2 - 3(3x-1)(x-4) Le même avec un – à la place d'un + :
(3x-1) x 2(3x-1) - (3x-1) x 3(x-4) = (3x-1)[2(3x-1) - 3(x-4)] = (3x-1)(6x-2 -3x+12) = (3x -1)(3x+10). Le – a changé les signes lors de la multiplication...
Quelques "méchancetés" (vraiment hors programme) pour finir.
 Ici, on "cache" le facteur commun grâce à deux techniques principales : on prend un multiple et on change les signes, séparément puis ensemble.
 • (2x-2)(2x+3) - 3(x-1)(x-4). Ce n'est pas une factorisation 3e, donc c'est 4e, donc il y a un facteur commun. Mais je n'en vois pas ! Donc il est caché… Mais où ? Ici : (2x-2) = 2(x-1) Donc (2x-2)(2x+3) – 3(x-1)(x-4) = 2(x-1)(2x+3)- 3(x-1)(x-4) Et on constate que c'est le dernier du premier type qui a déjà été vu au dessus… • 2(x – 1)(2x +3) + 3(1 – x)(x – 4). Ce n'est pas une factorisation 3e, donc c'est 4e, donc il y a un facteur commun. Mais je n'en vois pas ! Donc il est caché… Alors ouvrir l’œil permet de mettre le doigt sur (x-1) et (1-x) qui sont des opposés : (1-x) = -(x-1). D'où : 2(x-1)(2x+3) + 3(1-x)(x-4) = 2(x-1)(2x+3) – 3(x-1)(x-4) Et on constate que c'est encore le même ! • (3x-4)2 -9x+12. Là non plus, on ne voit pas de facteur commun ! Pourtant il est bien là... Il faut chercher... D'abord, on doit repérer 3x-4 et -9x+12 pour en déduire que 9 = 3 x 3 et 12 = 3 x 4 . Donc déjà : (3x-4)2 – 9x+12 = (3x-4)2 –3 x 3x + 3 x 4. Est-ce bon ? Non, pas encore.... Regardons mieux : si on retire les 3, on voit -3x+4 ; à comparer avec les 3x-4, on remarque des opposés : -3x+4 = -(3x-4) et on en déduit qu'il faut d'abord factoriser par -3 : (3x-4)2 – 9x+12 = (3x-4)2 -3(3x-4) = (3x-4)(3x-4)-3(3x-4) = (3x-4)(3x-4-3) = (3x-4)(3x-7) 2)

 2)Factorisations de niveau 3e . 

Niveau 3e pur. Il faut connaître par cœur les 3 produits remarquables et savoir identifier les 3 structures : a 2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (P1) ; a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (P2) et a2 – b2 = (a + b)(a – b) (P3) A noter : il y toujours, au départ, la présence de deux carrés ! Principal écueil : savoir faire la différence entre ab2 et (ab)2 = a2 b 2
Quelques exemples. 
• x 2+6x+9 = x 2+2 x x x 3 + 32 = (x+3)2 (P1) ; x 2 -8x+16 = x 2 - 2 x x x 4 + 42 = (x-4)2 (P2) • x 2 -9 = x 2 -32 = (x+3)(x-3) (P3). Il suffit de trouver qui est a et qui est b...
• 4x 2+12x+9 = (2x) 2+2 x 2x x 3+32 = (2x+3)2 (P1)
• 9x 2 -24x+16 = (3x) 2 -2 x 3x x 4+42 = (3x-4)2 (P2) De (P1) à (P2), seul le signe change, la structure est la même : un carré, le double produit et +un carré
• 25x 2 -49 = (5x) 2 -72 = (5x+7)(5x-7) (P3)
• (5x-2)2 -49 = (5x-2)2 -72 = (5x-2+7)(5x-2-7) = (5x + 5)(5x-9) = 5(x+1)(5x-9) (P3)
• (5x-2)2 – (3x-5)2 = [(5x-2) + (3x-5)] [(5x – 2) – (3x-5)] = (5x-2+3x-5)(5x-2-3x+5) = (8x-7)(2x+3). Là, s'arrête le programme… Pour (P3) la structure à repérer est : un carré un – et un carré : d'où le nom de "différence de 2 carrés" qui se factorise en un produit d'une somme (+) par une différence (-)...

3. On pourrait ajouter quelques factorisations plus complexes. 

• (5x-2) 2 - 2(5x-2)(3x-5) + (3x-5)2 = [(5x – 2) - (3x-5)] 2 = (5x-2 – 3x+5)2 = (2x+3)2 (P2)
• 4(5x-2)2 - 9(2x-5)2 = [2(5x-2)] 2 - [3(2x-5)] 2 = [2(5x-2) + 3(2x-5)] [2(5x-2) - 3(2x-5)]
 = (10x-4 + 6x-15)( 10x-4 – 6x+15) = (16x-19)(4x+11) (P3) Mais ceci n'est pas accessible à tous : plutôt niveau seconde ! Niveau 4e et 3e simultanément. Factorisations "gigognes", donc à tiroirs… (hors programme aussi) Principe : Une première factorisation (partielle) en laisse apparaître une autre.
 • 4x 2 -12x+9 – (2x-3)(3x-5) = (2x-3)2 – (2x-3)(3x-5) = (2x-3)[(2x-3) – (3x-5)] = (2x-3)(2x-3 – 3x+5) = (2x-3)(-x+2)
• (x+3)(5x-2)2 – (x+3)(3x-5)2 = (x+3) [(5x-2)2 – (3x-5)2 ]
On voit le facteur commun = (x+3) [(5x-2) + (3x-5)] [(5x-2) – (3x-5)] Les 2 carrés et le – ont dû alerter = (x+3) ( 5x-2 + 3x-5)( 5x-2 – 3x+5) C'était une diff. de2 carrés = (x+3) (8x-7)(2x+3)
• 4(x+3)(5x-2)2 – 9(x+3)(2x-5)2 = (x+3)[4(5x-2)2 – 9(2x-5)]2 On voit le facteur commun = (x+3) [[2(5x-2)] 2 - [3(2x-5)]2 ] Les 2 carrés et le – doivent alerter = (x+3) [2(5x-2) + 3(2x-5)] [2(5x-2) - 3(2x-5)] C'était une diff. de2 carrés = (x+3) (10x-4+6x-15)(10x-4 – 6x+15) Et on retrouve la Distributivité... = (x+3) (16x-19)(4x+11) Il n'y a que quelques techniques que l'on peut ensuite combiner par deux, par trois à la fois.
Il importe de bien éduquer sa vision, de bien savoir ses leçons, donc en particulier de bien connaître les règles de manipulation de puissances. Ainsi : 4(5x – 2)2 ne peut pas représenter a2 , car d'après les règles des puissances de 4e : 4(5x – 2)2 ≠ [4(5x – 2)]2 .
Il faut donc préalablement écrire que 4(5x – 2)2 = 22 (5x – 2)2 = [2(5x – 2)] 2
 et on sait alors que a = 2(5x – 2).

 

Écrit par M.AIT AOMAR.
www.azphysic.com

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