Postulats de la mécanique quantique

Les postulats 

Postulat I

L'état d'un système physique décrit tous les aspects de ce système, dans le but de prévoir les résultats des expériences que l'on peut réaliser. Le fait que la mécanique quantique soit non déterministe entraîne une différence fondamentale par rapport à la description faite en mécanique classique : alors qu'en physique classique, l'état du système détermine de manière absolue les résultats de mesure des grandeurs physiques, une telle chose est impossible en physique quantique et la connaissance de l'état permet seulement de prévoir, de façon toutefois parfaitement reproductible, les probabilités respectives des différents résultats qui peuvent être obtenus à la suite de la réduction du paquet d'onde lors de la mesure d'un système quantique. Pour cette raison, on a coutume de dire qu'un système quantique peut être dans plusieurs états à la fois. Il faut en réalité comprendre que le système est dans un état quantique unique, mais que les mesures peuvent donner plusieurs résultats différents, chaque résultat étant associé à sa probabilité d'apparaître lors de la mesure.

L'état doit donc être vu comme représentant toute l'information disponible sur le système : une description de l'histoire du système permettant de calculer les probabilités de mesure. Dans le débat philosophique concernant l'interprétation de la mécanique quantique, certaines approches telles que l'interprétation de Copenhague considèrent d'ailleurs que l'état quantique n'est pas un élément de réalité au sens qu'Einstein donnait à ce terme, mais simplement un intermédiaire de calcul utile pour prévoir les mesures ; d'autres approches font appel à la notion de décohérence quantique pour décrire le processus mis en œuvre lors d'une mesure quantique.

L'une des conséquences de la nature aléatoire des mesures quantiques est que l'état ne peut être assimilé à un ensemble de propriétés physiques qui évoluent au cours du temps. En mécanique quantique, l'état et les grandeurs physiques sont deux concepts séparés et sont représentés par deux objets mathématiques différents. Dirac a montré qu'il était équivalent de faire porter l'évolution temporelle sur l'état quantique ou sur les grandeurs physiques, appelées observables en mécanique quantique.

La connaissance de l'état d'un système quantique est complètement contenue, à l'instant t, dans un vecteur normalisable d'un espace de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Ce vecteur est habituellement noté sous la forme d'un ket ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$.

Postulat II

En physique, le principe de correspondance, proposé la première fois par Niels Bohr en 1923, établit que le comportement quantique d'un système peut se réduire à un comportement de physique classique, quand les nombres quantiques mis en jeu sont très grands, ou quand la quantité d'action représentée par la constante de Planck peut être négligée devant l'action mise en œuvre dans le système.

À toute propriété observable, par exemple la position, l'énergie ou le spin, correspond un opérateur hermitien linéaire agissant sur les vecteurs d'un espace de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Cet opérateur est nommé observable.

Les opérateurs associés aux propriétés observables sont définis par des règles de construction qui reposent sur un principe de correspondance

L'opérateur de position 

${\displaystyle {\hat {\mathbf {Q} }}=\mathbf {r} }$

L'opérateur d'énergie potentielle classique ou électromagnétique 

L'opérateur de quantité de mouvement 

${\displaystyle {\hat {\mathbf {P} }}(\mathbf {r} )=-i\hbar \nabla }$, où ${\displaystyle \nabla }$ désigne le gradient des coordonnées ${\displaystyle \mathbf {r} }$

L'opérateur de moment angulaire 

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}(\mathbf {r} )={\hat {\mathbf {Q} }}\times {\hat {\mathbf {P} }}=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla }$

L'opérateur d'énergie cinétique 

${\displaystyle {\hat {K}}(\mathbf {r} )={\frac {{\hat {\mathbf {P} }}\cdot {\hat {\mathbf {P} }}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$

L'opérateur d'énergie totale, appelé hamiltonien 

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {K}}+{\hat {V}}={\hat {K}}(\mathbf {r} )+V_{cl}(\mathbf {r} )}$

L'opérateur action du système, appelé lagrangien 

Postulat III

La mesure d'une grandeur physique représentée par l'observable A ne peut fournir que l'une des valeurs propres de A.

Les vecteurs propres et les valeurs propres de cet opérateur ont une signification spéciale : les valeurs propres sont les valeurs pouvant résulter d'une mesure idéale de cette propriété, les vecteurs propres étant l'état quantique du système immédiatement après la mesure et résultant de cette mesure (voir postulat V : réduction du paquet d'onde). En utilisant la notation bra-ket, ce postulat peut s'écrire ainsi :

${\displaystyle {\hat {A}}|\alpha _{n}\rangle =a_{n}|\alpha _{n}\rangle }$

où ${\displaystyle {\hat {A}}}$, ${\displaystyle |\alpha _{n}\rangle }$ et ${\displaystyle a_{n}}$ désignent, respectivement, l'observable, le vecteur propre et la valeur propre correspondante.

Les états propres de tout observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ sont complets et forment une base orthonormée dans l'espace de Hilbert.

Cela signifie que tout vecteur ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ peut se décomposer de manière unique sur la base de ces vecteurs propres (${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$):

Postulat IV et V,...

La mesure d'une grandeur physique représentée par l'observable A, effectuée sur l'état quantique normalisé ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$, donne le résultat a_n, avec la probabilité P_n égale à |c_n|².

Le produit scalaire d'un état et d'un autre vecteur (qu'il appartienne ou non à ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$) fournit une amplitude de probabilité, dont le carré correspond à une probabilité ou une densité de probabilité de la façon

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