Réseaux linéaires en régime permanent

I- Définitions des éléments d’un réseau linéaire

1- Réseau linéaire

Un réseau est l’association de plusieurs dipôles (actifs et /ou passifs) branchés entre eux par des fils de résistances pratiquement nulles. Un réseau est dit linéaire si toutes les relations entre les potentiels et les courants sont linéaires.

2- Nœud

Un nœud d’un réseau est une interconnexion où arrivent 3

fils ou plus (les points B et E sont des nœuds).

3- Branche

Une branche est une portion de circuit située entre deux nœuds consécutifs (elle est parcourue par le même courant), les dipôles la constituant sont donc en série.
 Les parties AB, BCDE, BE, EFA sont des branches dans le réseau de l’exemple ci-dessus.

 4- Maille

Une maille est une partie du réseau formée par un ensemble de branches formant un circuit fermé dans lequel un nœud n’est rencontré qu’une seule fois. ABEFA, ABCDEFA, BCDEB sont des mailles. Sur le réseau précédent, nous avons trois branches EFAB, BE, BCDE, deux nœuds B et E et trois mailles ABEFA, BCDEB, ABCDEFA.
L’étude des réseaux consiste en la détermination des intensités des courants et des différences de potentiels dans les branches du réseau.
Pour faire cette étude nous devons adopter des conventions de sens pour les courants et les mailles dans le réseau:

 5- Résistance d’un conducteur

Un conducteur ohmique (ou résistance) est un conducteur aux bornes duquel la différence de potentiel est proportionnelle à l’intensité de courant qui le traverse.
 Sa caractéristique est une droite passant par l’origine

Pour le 1er cas, nous écrivons , avec le sens choisi pour le courant la chute de potentiel représentée par une flèche allant vers les potentiels les plus élevés est égale à + R I Pour le 2ème cas, nous avons

6- Générateurs en courant continu : 

Un générateur est un appareil capable de maintenir une différence de potentielle entre ses bornes. 
Il crée alors un courant permanent dans les conducteurs qui sont branchés entre ses bornes. 
Les bornes du générateur sont appelées pôles : la borne positive souvent notée pôle + est celle ayant le potentiel le plus élevé et la borne négative notée pôle – est l’autre borne. 

a- Force électromotrice (f.e.m.) : 

Un générateur est dit à vide si aucun circuit n’est branché entre ses bornes. D ans ce cas aucun courant ne circule.
La force électromotrice du générateur notée e est la différence de potentiel aux bornes du générateur à vide , son unité est donc le Volt. 
Si A et B sont les bornes du générateur, alors sa force électromotrice est

b- Résistance interne :

 Un générateur est dit en charge si un circuit conducteur est branché entre ses bornes.
 Un courant permanent apparaît donc dans le circuit ainsi formé.
En général, dans ce cas, la différence de potentiel aux bornes du générateur est inférieure à la f.e.m. E suggérant la présence d’une résistance à l’intérieur du générateur responsable de cette chute de potentiel. Cette résistance est appelée résistance interne du générateur et notée r.

c – Représentation d’un générateur :

Dans un générateur, le courant circule de la borne positive vers la borne négative à travers le circuit extérieur. Un générateur est dit idéal si sa résistance interne est nulle (r = 0).

7- Récepteurs en courant continu :

Un récepteur est un circuit capable de transformer de l’énergie électrique en une autre forme d’énergie : mécanique (moteurs), chimique (solution électrolyte)…

a- Force contre électromotrice 

(f.c.e.m.) Les récepteurs ont besoin d’un générateur externe pour pouvoir fonctionner.
Ils sont caractérisés par une force résistante au déplacement des porteurs de charges mobiles.
C’est l’analogue de la force électromotrice dans le cas des générateurs et c’est pour cela qu’on l’appelle force contre électromotrice (f.c.e.m.) et qu’on note E’.

b- Résistance interne :

On définit de même une résistance interne pour les récepteurs qui rend compte de la force de frottement dans le récepteur.
Un récepteur reçoit le courant électrique. Il entre donc par sa borne positive. Nous pouvons donc écrire :
Conventions:
 Dans chaque branche d’un réseau nous choisissons un sens positif arbitraire pour l’intensité du courant. Si après calcul, on trouve une intensité négative, cela veut dire que le sens réel du courant est l'opposé de celui choisi.

II- Lois régissant les circuits électriques :

1 - Loi d’Ohm généralisée (loi de Pouillet) :

Soit un circuit constitué d’un générateur de f.e.m. E et de

résistance interne r, d’un récepteur de f.c.e.m. E’ et de résistance interne r’ et d’une résistance R.
La d.d.p. aux bornes du générateur :
 et celle aux bornes du récepteur :   La d.d.p. aux bornes de la résistance R est donc :
 La loi d’Ohm généralisée s’écrit alors : 
ce qui donne :
Dans le cas général la loi d’Ohm généralisée s’écrit :
 
Cette loi est appelée aussi loi de Pouillet.

 2 - Lois de conservation dans un circuit :

 lois de Kirchhoff :

 Les lois de l’électrocinétique, connues sous le nom de lois de Kirchhoff, sont en fait de simples lois de conservation.

 a. Conservation du courant : loi des nœuds :

En régime permanent dans un réseau, la conservation de la charge électrique se traduit par la conservation du courant : en aucun point du circuit il ne peut y avoir d’accumulation (ou perte) de charge. Ceci nous permet d’énoncer la loi des nœuds comme suit : La somme algébrique des courants entrants d’un nœud et des courants sortant du nœud est nulle :
Cette loi est appelée la première loi de Kirchhoff ou loi des nœuds Exemple : Au nœud N de la figure ci contre, les courants et  sont considérés entrants et les courants   sont considérés sortants.

b. Conservation de l’énergie : loi des mailles :

 Soit le réseau ci-dessous :

 sont les f.e.ms du réseau et R les résistances. Si nous considérons la maille ABCFA, nous pouvons écrire
Loi des mailles :
 Le long d'une maille d'un réseau, la somme des différences de potentiel aux bornes des branches formant cette maille est nulle.
Cette loi est aussi connue sous le nom de 2ème loi de Kirchhoff.
 Remarque 1 : 
Soit un réseau à b branches et n noeuds, l’étude du réseau nécessite donc la détermination de b intensités. Or, n nœuds nous fournissent n – 1 équations indépendantes.
 Dans le réseau nous aurons donc m = (b - n + 1) mailles indépendantes i.e., fournissant des équations indépendantes
Remarque 2 :
 Comme précisé auparavant, l’étude d’un réseau consiste en la détermination des intensités des courants dans les différentes branches du réseau. Cette étude peut aussi chercher à déterminer les différences de potentiels aux bornes de ces branches. Donc les inconnues sont soit les b courants dans les différentes branches ,soit les b différences de potentiels à leurs bornes.

Prof : M.AIT AOMAR

 Exemple d’application et corrigé

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