Résumé de cours : Suites et séries de fonction

Résumé de cours : Suites et séries de fonction

Convergence simple, convergence uniforme

  Soit A une partie de R; soit (fn)$($ une suite de fonctions de 
$A$ dans R   et f:A→R

• On dit que (fn)$(f_n)$ converge simplement vers fsur A si :
  ∀ε>0, ∀x∈A, ∃n0∈N tel que ∀n≥n0, |fn(x)−f(x)|≤ε.$$.$$
• 
  
• On dit que (fn)$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur 
  $A$ si :
  ∀ε>0, ∃n0∈N tel que ∀x∈A, ∀n≥n0, |fn(x)−f(x)|≤ε.$$$$
  .
• La convergence simple traduit que pour chaque x∈A$x\in A$, la suite de réels (fn(x))$(f_n(x))$ converge vers f(x)$f(x)$. La convergence uniforme impose en plus que la convergence se fait toujours à la même vitesse. Si toutes les fonctions fn et $f$ sont bornées, alors (fn)$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ si et seulement si (∥fn−f∥A,∞)$(\Vert f_n-f{\Vert }_{A,\mathrm{\infty }})$ tend vers $0$, où
  ∥g∥∞,A=sup{|g(x)|; x∈A}.$$\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty },A}=sup\{|g(x)|;x\in A\}.$$
• 
  

Propriétés conservées

  Soit I$I$ un intervalle de R, (fn) une suite de fonctions de I dans R et f:I→R

• Continuité : On suppose que toutes les fnsont continues en a∈I et que (fn) converge uniformément vers f sur I. Alors f est continue en a.
• En particulier, si toutes les fn sont continues sur I, alors f est continue sur I.
• Dérivabilité : On suppose que toutes les fonctions fn sont de classe C1 et qu'il existe g:I→R vérifiant
  

  • (fn) converge simplement vers f sur I.
  • La suite de fonctions (f′n)converge uniformément vers g sur tout segment contenu dans I.

  Alors la fonction f est de classe C1 et f′=g.
• Caractère Ck : On suppose que toutes les fonctions fn sont de classe Ck et qu'il existe des fonctions gj:I→R, 0≤j≤ktelles que
  

  • pour tout j=0,…,k−1
    (f(j)n)$(f_n^{(j)})$ converge simplement vers gjsur I;
  • (f(k)n) converge uniformément vers gksur tous les segments contenus dans I.

  Alors g0est de classe Ck sur I et pour tout j≤k, g(j)0=gj.
• Permutation limite/intégrale : On suppose que I=[a,b] est un segment, que toutes les fonctions fn sont continues et que (fn)converge uniformément vers fsur I. Alors
  

  limn→+∞∫bafn(t)dt=∫balimnfn(t)dt=∫baf(t)dt.$$$$
  
• Théorème d'interversion des limites : On suppose que I=[a,b[et que (fn) converge uniformément vers f sur I. On suppose de plus que chaque fonction fn admet une limite ℓn en b. Alors la suite (ℓn) converge vers une limite ℓ$\ell$, f$f$ admet une limite en b et limx→bf(x)=ℓ
  
  Ce théorème est souvent appliqué avec b=+∞.

Séries de fonctions

  Soit I un intervalle de R et (un)$(u_n)$ une suite de fonctions de I dans R

• On dit que la série de fonctions ∑nunconverge simplement vers S sur ISn(x)=∑nk=1uk(x) converge simplement vers S sur I.
•  si la suite de ses sommes partielles 
• On dit que la série de fonctions ∑nun converge uniformément vers S sur I si la suite de ses sommes partielles Sn(x)=∑nk=1uk(x) converge uniformément vers S sur I.
• On dit que la série de fonctions ∑nun   converge normalement sur Isi la série numérique ∑n∥un∥∞,I${,I}_{}$ est convergente.
• Théorème : Si ∑nun(x)converge normalement sur I, alors elle converge uniformément.
• Les théorèmes relatifs aux suites de fonctions restent vraies dans ce nouveau cadre. Ils ont désormais les énoncés suivants :
• Continuité : On suppose que toutes les un$u_n$ sont continues en a∈I$a\in I$ et que ∑nun converge uniformément vers S sur I. Alors S est continue en a.
• En particulier, si toutes les un sont continues sur I, alors S est continue sur I.
• Dérivabilité : On suppose que toutes les fonctions un$u_n$ sont de classe C1 et que
  

  • ∑nun converge simplement sur I.
  • ∑nu′n${\prime }_{}^{}$ converge uniformément sur tout segment contenu dans I$I$.

  Alors la fonction S:x↦∑n≥1un(x) est de classe C1 et S′(x)=∑n≥1u′n(x).
• Caractère Ck : On suppose que toutes les fonctions un sont de classe Ck et que
  

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  • 
    
  • pour tout j=0,…,k−1, ∑nu(j)n converge simplement sur I;
  • ∑nu(k)n converge uniformément sur tous les segments contenus dans I$I$.

  Alors la fonction S:x↦∑n≥1un(x) est de classe Ck et pour tout j=0,…,k, S(j)(x)=∑n≥1u(j)n(x).
• Permutation somme/intégrale : On suppose que I=[a,b] est un segment, que toutes les fonctions un sont continues et que ∑nunconverge uniformément. Alors la série ∑n∫baun(t)dt converge et on a
  

  ∫ba∑nun(t)dt=∑n≥0∫baun(t)dt.$$$$  
• $$$$Théorème d'interversion des limites : On suppose que 
• I=[a,b[et que ∑nun converge uniformément vers S sur I. On suppose de plus que chaque fonction (un)$(u_n)$ admet une limite ℓn${\ell }_n$ en b. Alors la série ∑nℓn converge, Sadmet une limite en b et
  

  limx→bS(x)=∑n≥1ℓn.$$$$ 

• Extension aux espaces vectoriels normés

  Certains des résultats précédents restent vrais si on définit maintenant nos fonctions sur une partie A d'un espace vectoriel normé E, et si elles sont à valeurs dans un autre espace vectoriel normé F, par exemple la préservation de la continuité, le fait que la convergence normale entraîne la convergence uniforme, le théorème de permutation des limites, que l'on peut énoncer sous la forme plus générale suivante :

Théorème : Soit (fn) une suite de fonctions de A dans F convergeant uniformément vers f sur A, et soit a$a$ un point adhérent à A; si, pour tout n, fn admet une limite ℓn en a, alors (ℓn) admet une limite ℓ, f admet une limite en a et

limx→af(x)=ℓ.$$\; .$$

En revanche, toutes les propriétés relatives à l'intégration et à la dérivation nécessitent que l'ensemble de départ soit un intervalle (il faut bien pouvoir donner un sens aux objets considérés!).

Approximation uniforme

• Théorème : Toute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme sur ce segment de fonctions en escalier.
• Théorème de Weierstrass : Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme sur ce segment de fonctions polynomiales.

Mohamed AIT AOMAR