suites numériques

Le corps des nombres réels

Théorème : Il existe un ensemble R$\mathbb{R}$ contenant Q$\mathbb{Q}$ muni d'une addition, d'une multiplication et d'une relation d'ordre tel que (R,+,⋅,≤)$(\mathbb{R},+,\cdot ,\le )$ soit un corps totalement ordonné archimédien satisfaisant à la propriété de la borne supérieure. De plus, la fonction d(x,y)=|x−y|=max(x−y,y−x)$d(x,y)=|x-y|=max(x-y,y-x)$ munit R$\mathbb{R}$ d'une distance et donc d'une topologie.

Notion de limites enseignée dans le supérieur
On dit qu'une suite (un) converge vers le réel ℓ (ou tend vers le réel ℓ) si : ∀ε>0, ∃n0∈N ∀n≥n0, |un−ℓ|≤ε.

 Théorème et définition :

Si (un) converge vers ℓ1 et si (un) converge vers ℓ2, alors ℓ1=ℓ2. Ce réel s'appelle alors la limite de la suite (un) et on note limn→+∞un=ℓ. Une suite qui ne converge pas s'appelle suite divergente. Proposition :
toute suite convergente est bornée. On dit qu'une suite (un) diverge vers +∞ lorsque :

∀M∈R, ∃n0∈N ∀n≥n0, un≥M. On note limn→+∞un=+∞.
 On dit qu'une suite (un) diverge vers −∞ lorsque : ∀m∈R, ∃n0∈N ∀n≥n0, un≤m.
On note limn→+∞un=−∞.

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Écrit par prof : M.AIT AOMR.
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