Théorème de Gauss

Théorème de Gauss 

Le flux du champ électrique envoyé à travers une surface fermée   quelconque vaut fois la charge algébrique totale, contenue dans le volume délimité par cette surface.

Démonstration

a) cas de charges extérieures à une surface  fermée

Les éléments  et  sont vus sous le même angle  en valeur absolue. 

Cependant,  et   sont colinéaires alors que   et  sont opposés.

Les flux  et  sont donc de signe opposé.

 Les flux élémentaires s'annulant 2 à 2, le flux total du champ  créé par la charge 

 extérieure à la surface fermée est nul.

b) cas de charges intérieures à une surface  fermée.

La somme des flux élémentaires ne sera pas nulle car tous les vecteurs élément de 

surface sont par exemple tous orientés de la surface vers l'extérieur.

 Le flux total envoyé par Q à travers S sera la somme des flux élémentaires soit :

L'unité d'angle solide est l'angle qui découpe sur une sphère de rayon unité une 

surface unité. 

Comme la surface de la sphère de rayon unité est  , l'angle solide qui d'un 

point voit tout l'espace a pour valeur  . La somme étant étendue à tout l'espace soit ,   si il se trouve, à l'intérieur de  S , n charges  :

En posant : 

Le flux de E envoyé à travers une surface fermée est égal au quotient par p de la 

somme des charges intérieures, quelles que soient les charges extérieures.

Relation entre flux et angle solide

Soit un point M appartenant à l'élément de surface dS . 

Le champ  E créé en M par la charge Q est porté par OM et dirigé de O vers M si ; son module est  avec  .

Le flux élémentaire de ce champ électrique à travers l'élément de surface  

entourant le point M est :

 ; 

Or  est l'angle solide  sous lequel le contour de dS est vu de 

O (géométriquement, c'est un cône de sommet O qui est tangent à l'élément de surface  ).

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