Utilisation de techniques de construction géométrique classique

Utilisation de techniques de construction géométrique classique

Utilisation de techniques de construction géométrique classique 

Mots clés

o Construction géométrique classique

o Compas

o Rapporteur

o Bissectrice perpendiculaire

o Bissectrice d'angle

Objectifs

• Reconnaître plusieurs outils simples à utiliser dans la construction classique et comprendre comment ils sont utilisés
•  Comprendre comment certaines constructions géométriques simples peuvent être réalisées

Pour de nombreux problèmes de géométrie, une esquisse approximative de la situation est suffisante pour résoudre le problème. Néanmoins, même des dessins ou des croquis approximatifs sont suffisants dans ces cas. Dans d'autres cas, cependant, nous pourrions vouloir dessiner un diagramme plus précis avec des angles, par exemple, qui sont corrects dans la mesure. Certes, les ordinateurs peuvent être un outil utile à cet égard; divers progiciels permettent par exemple de construire des dessins précis pour des plans de construction. Nous pouvons cependant construire des dessins incroyablement précis de certaines figures en utilisant des techniques de construction géométrique classique, qui utilise des outils simples et facilement disponibles pour dessiner des angles, des segments de ligne et d'autres figures géométriques. Cet article vous montre comment effectuer quelques-unes de ces constructions.

Outils de dessin géométrique simples

Pour réaliser ces constructions sur papier, vous n'avez besoin que de trois outils de base: un crayon, une règle (une règle est idéale) et une boussole . Une boussole est tout simplement un appareil en forme de V avec une aiguille sur un bras et un crayon sur l'autre. Les bras du V sont connectés de telle sorte que l'angle peut être ajusté. Voici un croquis d'une boussole.

Une boussole peut être utilisée pour dessiner un cercle (presque) parfait. La distance entre l'aiguille et le crayon est le rayon. L'aiguille est plantée dans le papier et sert de point de pivot et de centre du cercle; faites simplement tourner la boussole à l'aide du crayon pour dessiner le cercle, comme illustré ci-dessous.

Certains compas incluent une échelle de mesure d'angle rudimentaire près du sommet. Un outil plus précis pour mesurer ou construire des angles est un rapporteur , dont un exemple est illustré ci-dessous. Les rapporteurs montrent une gamme de mesures d'angle de 0 ° à 180 °. Nous n'utiliserons pas beaucoup de rapporteurs, mais il est utile de les reconnaître.

Constructions géométriques de base

Nous avons vu ci-dessus comment construire un cercle d'un rayon donné à l'aide d'une boussole (utilisez simplement une règle pour positionner correctement les bras de la boussole à la bonne distance). Une autre construction simple est un segment de ligne joignant deux points. Une règle (comme une règle) est idéale pour cette construction simple, comme illustré ci-dessous. Alignez simplement les deux points le long de la règle et tracez la ligne de connexion avec un crayon ou un stylo.

Nous avons ainsi la possibilité de dessiner des cercles (et des arcs) et des segments de ligne. En utilisant ces connaissances, nous pouvons dessiner d'autres figures. Disons que nous avons un segment de ligne et que nous voulons diviser ce segment de ligne en deux par un nouveau segment de ligne perpendiculaire (appelé une bissectrice perpendiculaire ). Considérez le segment ci-dessous. D'une certaine manière, nous voulons construire la bissectrice perpendiculaire, qui est représentée par une ligne en pointillés.

Notez que tous les points sur la ligne en pointillés sont équidistants des deux extrémités du segment de ligne continue. Ainsi, si nous dessinons deux cercles centrés sur ces points d'extrémité, ils devraient (tant qu'ils sont au moins aussi grands que la moitié de la longueur du segment) se croiser quelque part sur la ligne en pointillés. Le diagramme ci-dessous illustre ce fait.

Ainsi, nous pouvons trouver deux de ces points pour construire la bissectrice perpendiculaire en réglant notre boussole sur n'importe quel paramètre qui est un peu plus de la moitié de la longueur du segment que nous divisons en deux.

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Maintenant, dessinons les cercles requis. (En fait, nous n'avons besoin que de dessiner des arcs - le cercle entier n'est pas nécessaire.) Assurez-vous que la boussole conserve son réglage - si le réglage change, cela affectera négativement la construction.

Maintenant, il suffit d'utiliser une règle pour relier les points formés par les arcs.

Pour les besoins de cet exemple, seul le segment entre les points est tracé. Bien sûr, le segment peut être étendu indéfiniment dans les deux sens - le résultat est toujours une bissectrice perpendiculaire.

Nous pourrions également vouloir diviser un angle en construisant une bissectrice d'angle , qui est un segment de droite qui divise un angle en deux angles congrus. Une bissectrice d'angle est représentée dans le diagramme ci-dessous sous la forme d'une ligne pointillée.

La bissectrice d'angle est "à mi-chemin" entre les deux segments d'angle et passe par le sommet de l'angle. Ainsi, nous devons trouver un seul point le long de la bissectrice d'angle pour nous permettre de construire le segment. Notez que si nous dessinons un segment perpendiculaire à la bissectrice, nous avons créé deux triangles congrus (par la condition ASA).

Si nous dessinons simplement des cercles de rayon égal centrés sur les points A et B, ils devraient se croiser quelque part sur la bissectrice perpendiculaire. Notez d'abord, cependant, que les points A et B sont équidistants du sommet de l'angle. Tout d'abord, utilisons la boussole pour déterminer deux de ces points.

Nous avons maintenant deux points équidistants du sommet. Tirons des arcs autour de ces points pour identifier un point sur la bissectrice perpendiculaire.

Maintenant, nous pouvons utiliser une règle pour tracer la bissectrice d'angle.

Le résultat est illustré ci-dessous. Encore une fois, ce segment de ligne divise l'angle en deux angles congrus.

Sur la base de ces constructions simples (et d'autres), des constructions plus complexes peuvent être conçues. Bien que les mathématiques modernes et la plupart des domaines de l'ingénierie et des sciences ne s'appuient pas sur des compas et des lignes droites pour effectuer des constructions géométriques, ceux-ci illustrent certains des principes de la géométrie et comment ils peuvent être appliqués à l'aide d'outils simples.

Problème de pratique :Utilisez des techniques de construction classiques pour diviser le triangle isocèle ci-dessous en deux triangles rectangles congrus.

Solution :Voyons ce que nous voulons faire pour diviser ce triangle.

Ces deux nouveaux triangles, comme mentionné, sont congruents (par exemple par la condition ASA). Pour diviser le triangle de cette manière, nous devons soit construire une bissectrice perpendiculaire à la base du triangle, soit une bissectrice à angle de l'angle de crête. Dans les deux cas, nous n'avons besoin que d'un seul point, car nous savons que la ligne pointillée passe par le point au sommet du triangle. En fait, ces deux approches se révèlent similaires. Utilisons les deux points à la base du triangle (que nous savons équidistants du point au sommet) et dessinons des arcs pour trouver un point d'intersection. Notez que ce point n'a pas besoin d'être à l'intérieur du triangle - un point à l'extérieur du triangle peut être un meilleur choix pour des raisons de clarté et de précision.

Maintenant, utilisez une règle pour construire le segment de division. Le résultat est illustré ci-dessous.

Problème de pratique :Construisez un segment de ligne parallèle à celui illustré ci-dessous.

Solution :Rappelez-vous que lorsque des lignes parallèles sont coupées par une transversale, les angles correspondants sont congrus.

 Appelons le segment ci-dessus. 

Si nous dessinons un segment de ligne perpendiculaire à 

(appelons-lem), alors nous pouvons dessiner un autre segment perpendiculaire àmtel quenet soient parallèles, comme indiqué ci-dessous.

Commençons donc par dessiner une bissectrice perpendiculaire (bien que ce ne soit pas nécessairement une bissectrice) à m .

Maintenant, nous pouvons dessiner une autre bissectrice perpendiculaire, cette fois pour un segment de la nouvelle ligne. (Choisissez simplement deux points sur la ligne entre lesquels vous voulez dessiner le segment perpendiculaire.)

prof : Med. AIT AOMAR