1. Oscillations : systèmes à un degré de liberté.
1.1. EN PRÉAMBULE
Les phénomènes étudiés dans un cours sur les vibrations et les ondes concernent tous les domainesde la physique et de ingénierie.
Si le cours s’intitule « vibrations et ondes » cela signifie qu’il y sera question de mécanique,
d’acoustique, d’optique, d’électromagnétisme et que toutes les spécialités de l’ingénieur, auxquelles
on peut ajouter l’architecture dans ses aspects structures et ouvrages, y trouveront un intérêt.
En fait dans un cours « vibrations et ondes » il est question d’énergie. Dans les situations de
vibrations (ou d’oscillations) l’énergie est localisée dans un espace limité, assimilé à un point ou
s’étendant dans un volume limité. Dans le cas des ondes, l’énergie se propage à partir d’une source
qui est elle-même un oscillateur, pour aller se déposer dans la matière rencontrée, ou redirigée dans sa
propagation. Suivant le cas, il sera question d’absorption, de réflexion, de diffusion, de diffraction,
de dispersion. Comme toute vibration ou onde est une forme de manifestation d’une énergie, on
retrouve des notions communes quelque soit le domaine. L’ingénieur, quelque soit sa spécialité, a
besoin des notions suivantes introduites dans ce cours : fréquences propres, temps de relaxation,
modes de vibration, interférence, vitesse de phase, vitesse de groupe, polarisation ....
A un niveau très général, on peut classer les phénomènes physiques en deux grandes catégories :
mécanique et électrique. Dans le cas mécanique, les phénomènes sont régis par les lois de la
gravitation et de l’inertie, en relation avec la masse des objets et le champ gravitationnel associé.
Dans le cas électrique, c’est le champ électromagnétique lié à la propriété de charge électrique de
certaines particules constituant la matière. En pratique, les systèmes que réalisons et que nous
utilisons sont à la fois mécaniques et électriques, et quelque soit notre spécialité d’ingénierie, nous
devons étudier les deux situations .
Mais pour la clarté de l’exposé il convient de se placer soit dans un cas mécanique,
soit dans un cas électrique.
Les situations « mécaniques » sont relativement intuitives et assez faciles à
« comprendre ».
Les situations électriques le sont moins et sont le plus souvent basées sur la bonne
application de conventions, qui si elles sont bien respectées, mènent au bon résultat, mais qui ne sont
pas faciles à suivre à toutes les étapes.
1.2. L’ÉNERGIE ET SES MANIFESTATIONS COURANTES
L’énergie est une grandeur fondamentale en Physique.La matière et le rayonnement
électromagnétique (ém) qui constituent la partie de l’univers que nous pouvons observer sont deux
formes de cette entité fondamentale.
Les développements de la physique au 20ème siècle, stimulés par les idées du Physicien Einstein,
ont fait apparaître une équivalence entre matière et rayonnement ém.
Cette découverte est résumée dans la célèbre formule
une quantité de matière de masse m est caractérisée par une l’énergie E, c étant la célérité des ondes
électromagnétiques dont la forme qui nous est la plus familière est la lumière.
L’énergie se manifeste sous de multiples formes. Les formes d’énergie suivantes interviennent dans
les phénomènes de vibrations.
Énergie mécanique.
Énergie cinétique de translation :
ligne droite à la vitesse constante v dans un repère donné.
Énergie cinétique de rotation :
Énergie potentielle de déformation :
déformation d’un objet élastique allongé du type ressort, de raideur K, dont la longueur a varié d’une
quantité x.
Énergie thermique : Q = mCth ΔT est la quantité d’énergie thermique (ou chaleur) d’un corps de
masse m, dont la température a varié de ∆T degrés. Cth est la capacité thermique.
Énergie potentielle de pesanteur : ΔEpp = m g Δz est la variation d’énergie potentielle de pesanteur
d’un corps de masse m soumis à la pesanteur terrestre et dont l’altitude (sur une petite distance) varie
de ∆z (g = 9,81N.kg-1 ).
Énergie électrique :
Énergie du champ électrique créée par des charges q stockée dans un condensateur :
Énergie magnétique dans une bobine d’inductance L traversée par un courant d’intensité i :
Les systèmes étudiés dans un cours sur les vibrations correspondent aux situations dans lesquelles
une partie de l’énergie varie périodiquement d’une forme à une autre : de cinétique à potentielle dans
les systèmes mécaniques, d’électrique à magnétique dans les systèmes électriques.
L’énergie reste localisée si le système est isolé.
Dans le cas contraire, l’énergie s’échappe vers les éléments voisins et se propage dans le milieu
environnant sous la forme d’ondes.
1.3. L’OSCILLATEUR LINÉAIRE À 1 DEGRÉ DE LIBERTÉ
1.3.1. CLASSIFICATION DES OSCILLATEURS
Suivant les conditions dans lesquelles on le place, un système pourra osciller librement ou de façonforcée.
- les oscillations libres : le système est mis en mouvement par une perturbation initiale (se traduisant
par un apport d’énergie) qui dure un bref instant, et, livré à lui-même, revient périodiquement à la
position d'équilibre,
- les oscillations forcées : l'excitation est permanente, le système reçoit un flux continu d’énergie
qu’il accumule en partie, transforme et/ou restitue au milieu environnant.
On classe les systèmes oscillants suivant leur niveau de complexité.
Il convient pour cela de définir le nombre de paramètres nécessaires pour le décrire.
Les systèmes oscillants les plus simples et isolés ont un seul degré de liberté et sont décrits à l’aide
d’un paramètre unique.
Ce paramètre correspond à l’écart par rapport à la situation de repos ou d’équilibre autour de laquelle
se fait l’oscillation.
- en mécanique, il s'agit d'une translation suivant un axe ou d’une rotation,
- dans les systèmes électriques il peut s'agit d'un courant de bobine, d'une charge de condensateur,
d'un champ électrique, d'une induction magnétique.
Les systèmes complexes à plusieurs degrés de liberté :
Un système est complexe s'il est constitué
d'un grand nombre de parties en mouvement pouvant évoluer de façon interdépendantes.
A chaque type de mouvement correspond un degré de liberté.
Un mouvement quelconque peut être considéré comme formé d'un ensemble de mouvements simples
ou modes dont
les propriétés sont celles d'un oscillateur harmonique.
1.3.2. L’OSCILLATEUR À 1 DDL
Un oscillateur est un dispositif dont certains paramètres peuvent évoluer dans le temps de façonpériodique autour d’une valeur d’équilibre.
Si on désigne par s(t) l’écart par rapport à l’équilibre, on a : , T est la période du phénomène.
Les particularités d’un oscillateur sont :
- un état d’équilibre stable,
- des phénomènes de rappel vers la position d’équilibre s’il en est écarté par des sollicitations
extérieures,
- deux formes d’énergie avec échange périodique.
L’oscillateur présente un degré de liberté (1ddl) si un seul paramètre (position, charge électrique, ..)
suffit à décrire son état à un instant donné.Un oscillateur mécanique est constitué de deux éléments :
- un composant inertiel, capable de stocker de l'énergie cinétique,
- un composant élastique, capable d'emmagasiner de l'énergie potentielle élastique et capable de
ramener le système vers sa position d’équilibre.
C’est le cas pour les deux dispositifs suivants (figure ci-après).
- mouvement vibratoire de translation : un objet ponctuel de masse m accroché à un ressort de
raideur K, lui-même fixé à un bâti rigide, immobile dans un repère galiléen (système m-K)
Voir PDF
Mohamed AIT AOMAR
Articles
