Exercice 1
Résoudre les équtions différentiel
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
y'(x)+y(x)+1=0 \\
y(0)=0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
On résout d'abord l'équation sans second membre $$y'(x)+y(x)=0$$ $$\frac{dy}{dx}=-y\Rightarrow \frac{dy}{y}=-dx $$
$$\ln y=-x+cet\Rightarrow y(x)=e^{ -x+cet}$$
$$y(x)=Ae^{ -x}$$
On cherche enuit une solution particuliére sous la forme de $$y(x)=A(x)e^{ -x}$$ $$y'(x)=A'(x)e^{ -x}-A(x)e^{ -x}$$
$$ \Rightarrow y'(x)+y(x)+1=A'(x)e^{ -x}-A(x)e^{ -x}+A(x)e^{ -x}+1=0$$
$$ \Rightarrow A'(x)e^{ -x}=-1$$
$$ \Rightarrow A'(x)=-e^{ x}$$
$$ \Rightarrow A(x)=-e^{ x}+B $$ les solutions de l'équation sont des fonction $$y(x)=(-e^{ x}+B)e^{ -x}=-1+Be^{ -x}$$
$$y(0)=0=-1+B$$
$$\Rightarrow B=1 $$
$$y(x)=-1+e^{ -x}$$
$$ y^{"}(x)+3 y^{'}(x)+2 y(x)=0 \ y(0)=1\\
y'(0)=0\\ $$ On cherche enuit une solution sous la forme de
$$ r^{2}+3 r+2 =0$$
$$ \Delta=3^2-4\times2=1$$
$$\longleftrightarrow r_{1}=\dfrac{-3-\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-3-1}{2}=-2 $$
$$r_{2}=\dfrac{-3+\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-3+1}{2}=-1$$ les solutions de l'équation sont des fonction $$ y(x)=A\exp (-x)+B\exp (-2x)$$
$$ y(0)=1=A+B$$
$$y^{'}(0)=0=-A-2B$$
$$ \Rightarrow A=2\, et \,B=-1$$
$$\Rightarrow y(x)=2\exp (-x)-\exp (-2x)$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
y^{"}(x)+4 y(x)=0 \\
y(0)=0\\
y'(0)=2\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
On cherche enuit une solution sous la forme de
$$ r^{2}+4 =0$$
$$ \Delta=-4\times 4={(i4)}^2$$
$$\longleftrightarrow r_{1}=\dfrac{-\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-i4}{2}=-2i $$
$$r_{2}=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{i4}{2}=2i$$ les solutions de l'équation sont des fonction $$ y(x)=A\exp (-i2x)+B\exp (2ix)$$
$$ y(0)=0=A+B\Rightarrow A=-B$$
$$y^{'}(0)=2=-2iA+i2B\Rightarrow B=\frac{-i}{2}\; et \;A =\frac{i}{2}$$
$$\Rightarrow y(x)=\frac{i\exp (-i2x)-i\exp (2ix)}{2}$$
$$\Rightarrow y(x)=\sin (2x)$$
Exercice 2
Calculer les intégrales
\begin{equation}
I_{1}=\int_{0}^{1}(e^t+e^{-t})^2dt
\end{equation} $$I_{1}=\int_{0}^{1}e^{2t}dt+\int_{0}^{1}e^{-2t}dt+\int_{0}^{1}2dt=\frac{[e^{2t}]_{0}^{1}}{2}-\frac{[e^{-2t}]_{0}^{1}}{2}+2[t]_{0}^{1}$$
Comme on sait calculer ceete derniére intérale on trouve finalement}
$$\int_{0}^{1}(e^t+e^{-t})^2dt=e^2+4-e^{-2}$$ \begin{equation}
I_{2}=\int_{1}^{2}(\frac{2}{x}-1)\ln (x)dx
\end{equation}
$$I_{2}=\int_{1}^{2}\frac{2}{x}\ln (x)dx+\int_{1}^{2}-\ln (x)dx=[\ln(x)^2]_{1}^{2}-[x\ln(x)-x]_{1}^{2}$$ Comme on sait calculer ceete derniére intérale on trouve finalement}
$$I_{2}=\int_{1}^{2}(\frac{2}{x}-1)\ln (x)dx=\ln(2)^2-2\ln(2)-1$$
\begin{equation}
I_{3}=\int_{\frac{-9}{2}}^{-1}\frac{4x+1}{\sqrt{4x^2+x}}dx
\end{equation}
$$I_{3}=2\int_{\frac{-9}{2}}^{-1}(\sqrt{4x^2+x})'dx=2[\sqrt{4x^2+x}]_{\frac{-9}{2}}^{-1}$$ Comme on sait calculer ceete derniére intérale on trouve finalement}
$$I_{3}=\int_{\frac{-9}{2}}^{-1}\frac{4x+1}{\sqrt{4x^2+x}}dx=-10 $$
\begin{equation}
I_{4}=\int_{0}^{\sqrt{3}}x^2\ln (x^2+1) dx
\end{equation}
On intégre par parties en posant
$$u(x)=\ln (x^2+1)$$ $$u'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$$ $$v'(x)=x^2$$ $$v(x)=\frac{x^3}{3}$$
$$I_{4}=[v(x).u(x)]_{0}^{\sqrt{3}}-\int_{0}^{\sqrt{3}}u'(x)v(x)dx$$
$$=[\frac{x^3\ln(x^2+1}{3})]_{0}^{\sqrt{3}}-\frac{2}{3}\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{x^4}{x^2+1}dx$$
$$x^4=(x^2+1)(x^2-1)+1$$
$$\Rightarrow \frac{x^4}{x^2+1}=x^2-1+\frac{1}{x^2+1}$$
$$I_{4}=2\sqrt{3}\ln(2)-\frac{2}{3}\int_{0}^{\sqrt{3}}(x^2-1+\frac{1}{x^2+1})dx$$
$$I_{4}=2\sqrt{3}\ln(2)-\frac{2}{3}([\frac{x^3}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}-[x]_{0}^{\sqrt{3}}+[\arctan (x)]_{0}^{\sqrt{3}})$$ $$[\frac{x^3}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}-[x]_{0}^{\sqrt{3}}+[\arctan (x)]_{0}^{\sqrt{3}})=
\sqrt{3}-0-\sqrt{3}+0+\frac{\pi}{3}-0=\frac{\pi}{3}$$ Comme on sait calculer ceete derniére intérale on trouve finalement}
$$I_{4}=\int_{0}^{\sqrt{3}}x^2\ln (x^2+1) dx=2\sqrt{3}\ln(2)-\frac{2\pi}{9}=1,70$$
Exercice 3
Considére la formule intégrale \begin{equation}
I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan ^n(x) dx
\end{equation}
a) Calculer $$I_{0}\;et \;I_{1}$$ \begin{equation}
I_{0}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} dx
\end{equation}
$$I_{0}=[x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$$
\begin{equation}
I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan (x) dx
\end{equation}
$$I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin(x)}{\cos(x)} dx=[-\ln(\cos(x))]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=-\ln(\frac{\sqrt{2}}{2})$$
b-Calculer $$I_{n}+I_{n+2}$$\begin{equation}
I_{n}+I_{n+2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan ^n(x) dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan ^{n+2}(x) dx
=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan ^2(x))\tan ^n(x) dx
\end{equation}
\begin{equation}
I_{n}+I_{n+2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan ^2(x))\tan ^n(x) dx
\end{equation}
$$I_{n}+I_{n+2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan ^n(x)\tan'(x) dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{(\tan ^{n+1}(x))'}{n+1}dx=\frac{1}{n+1}$$
c-Montrer que $$I_{n}\geqslant 0\;\;\forall n\in N$$On à $$ x \in [0,\frac{\pi}{4}] \;\;\;\; \tan ^n(x)\geqslant 0$$
Donc $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan ^n(x) dx\geqslant 0 \;\;\; n\in N$$
$$\Rightarrow I_{n}\geqslant 0$$
Exercice 4
Calculer
\begin{equation}
\lim_{x\longrightarrow a} \frac{xf(a)-af(x)}{x-a}
\end{equation}
f dérivable en a alors
\begin{equation} f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+o((x-a)^2)
\end{equation}
et On a\\$$ \frac{xf(a)-af(x)}{x-a}=\frac{xf(a)-af(a)-af(x)+af(a)}{x-a}=f(a)+\frac{a(f(x)-f(a))}{x-a}$\\
$f(x)-f(a)=(x-a)f'(a)+o((x-a)^2)$$ d'ou $$\frac{xf(a)-af(x)}{x-a}=f(a)-af'(a)+\frac{o((x-a)^2}{x-a}$$
Donc $$\lim_{x\longrightarrow a} \frac{xf(a)-af(x)}{x-a}=f(a)-af'(a)$$
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