VIBRATIONS des SYSTÈMES CONTINUS.
VIBRATIONS DES SYSTÈMES CONTINUS. PASSAGE DU DISCRET AU CONTINU
VIBRATIONS LONGITUDINALES D’UNE CHAÎNE D’OSCILLATEURS DE LONGUEUR INFINIE. RELATION DE DISPERSION
Fréquences propres - Modes propres
Considérons une chaîne de n oscillateurs mécaniques élémentaires (fig. ci-après). On suppose que les frottements peuvent être négligés
Fig. 4-1 : Chaîne d’oscillateurs identiques. L’état de l’oscillateur de rang n est repéré par son écart un par rapport à sa position d’équilibre xn0. La chaîne présente une période spatiale a correspondant à la longueur d’un oscillateur. Les extrémités (X = 0 et X = (N+1)a sont fixés et donc immobiles.
Un oscillateur ayant une longueur a, l’oscillateur de rang n se trouve à l’abscisse
Le mouvement d’un oscillateur quelconque dépend des mouvements de ses voisins. Soit un(t) l’écart par rapport à sa situation d’équilibre de l’oscillateur de rang n. Le mouvement de l’oscillateur répond à l’équation différentielle suivante
Si on écrit l’ensemble des équations différentielles du mouvement cela donne :
En généralisant le principe adopté pour les systèmes à 2 degrés de liberté, il convient de chercher des solutions de la forme `\bar{U_{n}}(t)=\bar{A_{0}}e^{+iwt}`
En remplaçant dans les équations du mouvement on obtient un système d’équations algébriques
Cette équation a des solutions non triviales si le déterminant est nul. Les « zéros » du déterminant sont les pulsations propres du système considéré. Il y a N racines, donc N fréquences propres. A chaque fréquence correspond un mode propre dont il est possible de trouver la répartition des amplitudes d’oscillation le long de la chaîne. Ces amplitudes sont réelles, ce qui signifie que pour chaque solution (ou mode propre) deux oscillateurs quelconques oscillent en phase, ou en opposition de phase.
Calcul des fréquences propres.
Les équations algébriques obtenues ci-dessus suggèrent la forme de réponse suivante pour les solutions (une série géométrique ) |
| Calcul des fréquences propres |
Une fonction sinus convient. Essayons donc An= Asin(nak) , a étant la constante de périodicité spatiale, et k un paramètre qu’on introduit. Comme na correspond à une longueur et nak à la phase de la fonction, k correspond à une variation de cette phase par unité de longueur.
On reporte cette solution dans l’équation de rang n :
Pour l’extrémité de gauche (x=0) on a A0=0
Pour l’extrémité de droite ( x= (N+1) a ), on a (en écrivant AN+1 =0 ) :
A N+1 = Asin((N +1)ak)= Asin(kL) =0
On en déduit des valeurs pour le paramètre k qu’on a introduit :
D’un point de vue mathématique, p peut être quelconque. D’un point de vue pratique, il convient de ne garder que les N premières valeurs de p, les autres correspondant aux mêmes solutions.
Les différentes solutions en fonction de la valeur de p :
• Pour la valeur de p = 1, la pulsation est égale à
Ce résultat nous permet de calculer les amplitudes An correspondant à cette première valeur de la pulsation (pulsation propre fondamentale de la chaîne).
On fait varier n de 1 à N et on obtient ces amplitudes, le terme de phase (nka ) variant de 0 à une valeur proche de π/2. L’amplitude est maximale pour n=N/2 et tous les signes sont positifs (oscillation en phase).
La représentation graphique ci-après obtenue pour N = 10 permet de mieux visualiser le résultat.
Cette répartition des amplitudes obtenue pour p =1 correspond à une configuration de vibration appellée mode fondamental.
• Pour la valeur de p = 2, la pulsation est égale à
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